TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA

INDICE:
1. HISTORIA DE LA TRIGONOMETRIA
2. DEFINICION DE SENO, COSENO Y TANGENTE
3. TRES PROBLEMAS RESUELTOS CON TRIGONOMETRIA

1. HSITORIA :

Los avances de las Matemáticas no han sido fruto del trabajo de una persona sino de la aportación de muchos matemáticos y de varias civilizaciones.

La trigonometría que nosotros estudiamos en un poco tiempo tardó en desarrollarse muchos siglos hasta llegar a su forma actual.

Vamos a analizar aquí un poco de su historia y de las aportaciones que a ella han hecho algunas civilizaciones y algunos matemáticos.

SIGLO X a.C. 

Hace más de 3.000 años, ya se comenzó a usar la trigonometría en la civilizaciones egipcia y babilónica.

En Babilonia se usaba para realizar medidas en la agricultura, y en el Antiguo Egipto se utilizó además en la construcción de las pirámides.

También fue aplicada a los primeros estudios de astronomía, en la realización de calendarios y el cálculo del tiempo, y en la navegación. Los egipcios fueron los que establecieron el sistema sexagesimal, midiendo los ángulos en grados, minutos y segundos.

En el Antiguo Egipto se alcanza un notable desarrollo en la aritmética y la geometría, por la necesidad de calcular correctamente la superficie de los campos tras la inundación anual. También sabían calcular volúmenes, como el de la pirámide y el tronco de  pirámide. La construcción de los monumentos de esta época implica amplios conocimientos de estas ciencias. 

 

 Babilonia es un antiguo reino localizado en la región de Mesopotamia, en torno al actual Iraq, fundada aproximadamente en el año 2500 a.C .y que tuvo su final alrededor del año 550 a.C.

 

Antiguo Egipto, el periodo comienza aproximadamente sobre el año 2700 a.C. hasta el 2200 a.C. 

Siglo II a.C.

Los conocimientos de los pueblos anteriores pasaron a Grecia, donde continuó su desarrollo. Allí, el matemático y astrónomo Hiparco de Nicea que vivió aproximadamente entre los años 190 y 120 a.C. fue el padre de la trigonometría. Hiparco construyó una tabla de cuerdas, que equivale a la moderna tabla de senos. Con la ayuda de dicha tabla, pudo fácilmente relacionar los lados y los ángulos de todo triángulo plano.

Siglo II

Pasan casi 300 años, para que otro matemático y astrónomo griego continuara el trabajo de Hiparco, Claudio Ptolomeo (85-165 d.C.). Aunque de origen griego Ptolomeo vivió y trabajó en Alejandría y en Egipto. Creó una nueva tabla de cuerdas con un error menor que 1/3600, utilizando para ello una circunferencia de radio 60. Junto con la tabla explicaba cómo obtenerla e incluso da ejemplos sobre cómo usarla para resolver triángulos rectángulos. También aplicó sus teorías trigonométricas a la construcción de relojes de sol y de astrolabios.

 

Siglo X

No podía faltar en el desarrollo de la trigonometría la civilización árabe. A partir del siglo VIII los matemáticos árabes continúan los trabajos de las civilizaciones griega e india. Adoptando el concepto de la función seno.

Tal fueron sus avances que en el siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco razones trigonométricas: coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente.

A ellos se debe también el tomar como radio r=1 en la circunferencia goniométrica para obtener las razones trigonométricas.

Destacan también por la exactitud de sus cálculos, por ejemplo, la tabla con los valores del seno de un ángulo, obtenidas para grados y minutos tienen un error menor a 1.5 · 10^-8.

Siglo XV

La trigonometría llega a occidente a partir del siglo XII y a través de la cultura árabe.Pero no es hasta el siglo XV cuando se realiza el primer trabajo importante sobre este tema.

Fue el matemático alemán Johann Müller (1436-1476), conocido como Regiomontano, el que escribe las primeras obras sobre trigonometría, tan importantes que es considerado como un fundador de esta parte de las matemáticas. Su obra “De Triangulis Omnimodis”, está comupesta de cinco libros, en el primero da las definiciones básicas: cantidad, ratio, igualdad, círculos, arcos, cuerdas, y la función seno. Proporciona algunos axiomas que proporcionarán el sustento de los 56 teoremas que enunciará. En el segundo de los libros establece la Ley del seno y la emplea en la resolución de algunos problemas con triángulos. Determina el área de un triángulo mediante el conocimiento de dos lados y el ángulo que los sustenta. Los libros III, IV y V tratan de trigonometría esférica centrando el tema para las posteriores obras de astronomía.  Posteriormente calcula dos tablas de senos, en la primera emplea una división sexagesimal y en la segunda calcula los senos de un ángulo empleando una división decimal.

Leonhard Euler

                                                                                                                                Sir Isaac Newton 

Siglo XVI

Georges Joachim, conocido como Rético (1514-1576), introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.

En esa misma época, el matemático francés François Viète (1540-1603), introduce la trigonometría esférica.

Siglo XVII

A principios de este siglo se produce una gran avance de los cálculos trigonométricos gracias al matemático escocés John Napier (1550-1617), inventor de los logaritmos que simplificaron notablemente el cálculo y que planteó diversos métodos para la resolución de triángulos esféricos.

Siglo XVIII

Sir Isaac Newton (1643-1727), inventó el cálculo diferencial e integral, que permitió representar muchas funciones matemáticas, entre ellas las trigonométricas mediante potencias. Con la invención del Cálculo, la trigonometría pasa a formar parte del Análisis Matemático, donde hoy juega un papel fundamental.

Leonhard Euler (1707-1783), matemático suizo,   fundó la trigonometría moderna, introdujo la notación actual de las funciones trigonométricas, popularizó el uso de la letra griega π, introdujo el uso de la función exponencial y descubrió su relación con las funciones trigonométricas, demostrando de una manera muy simple las propiedades básicas de la trigonometría.

2. 
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.

• El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

• El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

• La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

     

3. PROBLEMAS RESUELTOS TRIGONOMETRIA:

Ejercicio 11 resuelto

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.

   

Ejercicio 8 resuelto

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo.

  

Ejercicio 9 resuelto

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.

PELICULA AGORA:

1. RESUMEN
2. AÑO DE PRODUCCIÓN, DIRECTOR, PROTAGONISTAS
3. DESCUBRIMIENTOS FÍSICOS DE LOS QUE HABLA LA PELÍCULA


1. A finales del siglo IV D.C el imperio romano empezaba a derrumbarse.
Alejandría, en la provincia de Egipto, aúnconservaba parte de su esplendor. Poseía una de las 7 maravillas del mundo antiguo: El legendario Faro y la Biblioteca más grande conocida.
La Biblioteca era no solo un símbolo cultural, sino religioso,un lugar donde los paganos veneraban a sus Dioses ancestrales.
El tradicional culto de los paganos coexistía ahora en la cuidad con el judío, y con una religión imparable que hasta hacia poco eraprohibida: el cristianismo.
La lucha que había entre creencias era demasiado fuerte pues dejaban miles de daños, dudas entre las creencias y mucha sangre derramada.
También se reflejaba la esclavitud aque eran sometidos algunos cristianos para así poder subsistir.
La Biblioteca era la única fuente de información que tenían acerca del hombre y de sus hallazgos y por ello trataban de proteger susescritos al máximo.
Los cristianos irrumpieron en el imperio acabando así con muchas vidas, tirando abajo todos los ídolos y dañando muchos de los escritos que guardaba la biblioteca.


2. 

• Título: Ágora

• Título original: Ágora

• Dirección: Alejandro Amenábar

• País: Estados Unidos, España

• Año: 2009

• Fecha de estreno: 09/10/2009

• Duración: 126 min

• Género: Drama, Romance, Histórico, Aventuras

• Calificación: No recomendada para menores de 13 años

 PROTAGONISTAS:

-Hypatia (Rachel Weisz) es el personaje central de Ágora. Una mujer que vive por y para la filosofía. Obsesionada con mirar al cielo para descubrir sus secretos es incapaz de involucrarse en lo que ocurre en la Tierra. 

-Orestes (Oscar Isaac), un joven vanidoso que abrazará la fe cristiana para salvarse. Él está enamorado de Hypatia y lo pregona a voz en grito. 

-Davus (Max Minghella), un esclavo. A él no se le permite expresarse en público sin pedir permiso. Es un ciudadano de segunda, de tercera, incluso. Busca en la religión un refugio. Un lugar en el que

sentirse persona con plena libertad.

3. Los dos descubrimientos de Hipatia en la película son el movimiento de rotación y el de traslación de la Tierra.

Sobre la rotación de la Tierra, hay que decir que Hipatia hace este descubrimiento sospechando durante toda la película de que la tierra se mueve, así que para poner a prueba este movimiento lo comprueba a través de ¨La ley de la inercia¨ . La escena en el que lo descubre es en la de barco, en la que tira una bolsa con peso y cae sobre el mismo lugar.

El segundo descubrimiento es el de traslación, tiene lugar en la escena de la arena, en la que descubre que la tierra no gira en círculos si no formando una elipse.

TIPOS DE REACCIONES QUÍMICAS

TIPOS DE REACCIONES QUÍMICAS

• REACCIÓN DE SÍNTESIS: Elementos o compuestos sencillos que se unen para formar un compuesto más complejo.

                                               A+B → AB

Donde A y B representan cualquier sustancia química.
Un ejemplo de este tipo de reacción es la síntesis del cloruro de sodio:
                             
                                            2Na(s) + Cl₂(g) → 2NaCl(s)

• REACCIÓN DE DESCOMPOSICIÓN: Un compuesto se fragmenta en elementos o compuestos más sencillos. En este tipo de reacción un solo reactivo se convierte en zonas o productos.

                                           
                                            AB → A+B

Donde A y B representan cualquier sustancia química.
Un ejemplo de este tipo de reacción es la descomposición del agua:
                         
                                       2H₂O(l) → 2H₂(g) + O₂(g)
 

• REACCIÓN DE DESPLAZAMIENTO O DE SUSTITUCIÓN: Un elemento reemplaza a otro en un compuesto.

                                       A + BC → AC + B

Donde A, B y C representan cualquier sustancia química.
Un ejemplo de este tipo de reacción se evidencia cuando el hierro(Fe) desplaza al cobre(Cu) en el sulfato de cobre (CuSO₄):

                                      Fe + CuSO₄ → FeSO₄ + Cu

• REACCIÓN DE DOBLE DESPLAZAMIENTO O DOBLE SUSTITUCIÓN: Los iones en un compuesto cambian lugares con los iones de otro compuesto para formar dos sustancias diferentes.

                                      AB + CD → AD + BC

Donde A, B, C y D representan cualquier sustancia química.
Veamos un ejemplo de este tipo de reacción:

                                    NaOH + HCl → NaCl + H₂O

RELACCIONES INTERESPECIFICAS

RELACCIONES INTERESPECIFICAS DE LOS SERES VIVOS TEMA 7

• COLONIAL:

        
Ejemplo: 
Coral. Los individuos se originado por reproduccion asexual.

• FAMILIAR:

 Ejemplo: 
Los pingüinos

 

 

 

•  GREGARIA:

  Ejemplo: 
Gansos, patos,...

• SOCIAL:

Ejemplo:
 leones y tigres

TRABAJO DE BIOLOGIA TEMA 7

INDICE:  EJEMPLOS DE RELACIONES INTRAESPECIFICA.

1. FAMILIAR 
2. GREGARIA 
3. SOCIAL 
4. COLONIAL 

• FAMILIAR:

-Águilas, buitres y lobos.
-Focas, ciervos, antílopes y gorilas.
-Patos y escorpiones.
-Anfibios y reptiles.

• GREGARIA: 

-Sardinas, atunes y boquerones.
-Flamencos y estorninos.
-Langostas.
-Búfalos y caballos salvajes.

• SOCIAL: 

- Abejas, avispas y hormigas.

•  COLONIAL: 

-Corales.
-Celentéreos (medusas)

BIOGRAFIA DE NEWTON

BIOGRAFIA DE NEWTON

fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del cálculo matemático.
Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También contribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.
Entre sus hallazgos científicos se encuentran el descubrimiento de que el espectro de color que se observa cuando la luz blanca pasa por un prisma es inherente a esa luz, en lugar de provenir del prisma (como había sido postulado por Roger Bacon en el siglo XIII); su argumentación sobre la posibilidad de que la luz estuviera compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de convección térmica, que describe la tasa de enfriamiento de los objetos expuestos al aire; sus estudios sobre la velocidad del sonido en el aire; y su propuesta de una teoría sobre el origen de las estrellas. Fue también un pionero de la mecánica de fluidos, estableciendo una ley sobre la viscosidad.
Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la culminación de la revolución científica. El matemático y físico matemático Joseph Louis Lagrange (1736–1813), dijo que "Newton fue el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo se puede encontrar una vez un sistema que rija el mundo."

LAS TRES LEYES DE NEWTON

• La primera ley de Newton o ley de la inercia

"Todo cuerpo permanecerá en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado por fuerzas externas a cambiar su estado".
En esta ley, Newton afirma que un cuerpo sobre el que no actúan fuerzas externas (o las que actúan se anulan entre sí) permanecerá en reposo o moviéndose a velocidad constante.
Esta idea, que ya había sido enunciada por Descartes y Galileo, suponía romper con la física aristotélica, según la cual un cuerpo sólo se mantenía en movimiento mientras actuara una fuerza sobre él.

• La segunda ley de Newton o ley de la interacción y la fuerza

"El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz externa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime".
Esta ley explica las condiciones necesarias para modificar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo. Según Newton estas modificaciones sólo tienen lugar si se produce una interacción entre dos cuerpos, entrando o no en contacto (por ejemplo, la gravedad actúa sin que haya contacto físico).

• La tercera ley de Newton o ley de acción-reacción

"Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria; las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentidos opuestos".
Esta ley se refleja constantemente en la naturaleza: se tiene una sensación de dolor al golpear una mesa, puesto que la mesa ejerce una fuerza sobre ti con la misma intensidad; el impulso que consigue un nadador al ejercer una fuerza sobre el borde de la piscina, siendo la fuerza que le impulsa la reacción del borde a la fuerza que él está ejerciendo.

SIMULADOR DE LAS LEYES DE NEWTON :

http://ceres.tucansys.com/

BIOGRAFIA DE NEWTON

TRABAJO BIOLOGIA

• SOCAVADURA: es el impacto del oleaje que erosiona la base del acantilado.

 

• VOLADURA: rocas situadas sobre las socavaduras.

 

• BAHÍA:  Una bahía es una entrada a un mar, océano o lago, rodeada por tierra excepto por una apertura, que suele ser más ancha que el resto de la penetración en tierra adentro.

•  ARCO NATURAL MARINO:

• PLAYA: Extensión casi plana, formada por arena o piedras, que está en la orilla del mar, de un río o de un lago.

•  TOMBOLO: s un accidente geográfico sedimentario, como por ejemplo una barra, que forma una estrecha lengua de tierra entre una isla o una gran roca alejada de la costa y tierra firme, o entre dos islas o grandes rocas.

•  BARRERA LITORAL:  Depósitos de arena paralelos a la costa.

•  FLECHA:  Barras que tiene uno de sus extremos conectado con la continente.

•  ALBUFERAS:  Lagunas costeras parcial o totalmente separadas del mar por una barra.

• MARISMA:  una marisma es un ecosistema húmedo con plantas herbáceas que crecen en el agua. Una marisma es diferente de una ciénaga, que está dominada por árboles en vez de herbáceas.