INDICE:
1. HISTORIA DE LA TRIGONOMETRIA
2. DEFINICION DE SENO, COSENO Y TANGENTE
3. TRES PROBLEMAS RESUELTOS CON TRIGONOMETRIA
1. HSITORIA :
Los avances de las Matemáticas no han
sido fruto del trabajo de una persona sino de la aportación de muchos
matemáticos y de varias civilizaciones.
La trigonometría que nosotros estudiamos en un poco tiempo tardó en desarrollarse muchos siglos hasta llegar a su forma actual.
Vamos a analizar aquí un poco
de su historia y de las aportaciones que a ella han hecho algunas
civilizaciones y algunos matemáticos.SIGLO X a.C.
Hace más de 3.000 años, ya se comenzó a usar la trigonometría en la civilizaciones egipcia y babilónica.
En Babilonia se usaba para realizar medidas en
la agricultura, y en el Antiguo Egipto se utilizó además en la
construcción de las pirámides.
También fue aplicada a los primeros estudios de
astronomía, en la realización de calendarios y el cálculo del tiempo, y
en la navegación. Los egipcios fueron los que establecieron el sistema
sexagesimal, midiendo los ángulos en grados, minutos y segundos.
En el Antiguo Egipto se alcanza un notable
desarrollo en la aritmética y la geometría, por la necesidad de
calcular correctamente la superficie de los campos tras la inundación
anual. También sabían calcular volúmenes, como el de la pirámide y el
tronco de pirámide. La construcción de los monumentos de esta época
implica amplios conocimientos de estas ciencias.
Babilonia es un antiguo reino localizado en la región de Mesopotamia,
en torno al actual Iraq, fundada aproximadamente en el año 2500 a.C .y
que tuvo su final alrededor del año 550 a.C.
Antiguo Egipto, el periodo comienza aproximadamente sobre el año 2700 a.C. hasta el 2200 a.C.
Siglo II a.C.
Los conocimientos de los pueblos
anteriores pasaron a Grecia, donde continuó su desarrollo. Allí, el
matemático y astrónomo Hiparco de Nicea que vivió aproximadamente
entre los años 190 y 120 a.C. fue el padre de la trigonometría.
Hiparco construyó una tabla de cuerdas, que equivale a la moderna
tabla de senos. Con la ayuda de dicha tabla, pudo fácilmente relacionar
los lados y los ángulos de todo triángulo plano.
Siglo II
Pasan casi 300 años, para que
otro matemático y astrónomo griego continuara el trabajo de Hiparco,
Claudio Ptolomeo (85-165 d.C.). Aunque de origen griego Ptolomeo vivió
y trabajó en Alejandría y en Egipto. Creó una nueva tabla de cuerdas
con un error menor que 1/3600, utilizando para ello una circunferencia
de radio 60. Junto con la tabla explicaba cómo obtenerla e incluso da
ejemplos sobre cómo usarla para resolver triángulos rectángulos.
También aplicó sus teorías trigonométricas a la construcción de relojes
de sol y de astrolabios.
Siglo X
No podía faltar en el
desarrollo de la trigonometría la civilización árabe. A partir del
siglo VIII los matemáticos árabes continúan los trabajos de las
civilizaciones griega e india. Adoptando el concepto de la función
seno.
Tal fueron sus avances que en
el siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco
razones trigonométricas: coseno, tangente, secante, cosecante y
cotangente.
A ellos se debe también el tomar como radio r=1 en la circunferencia goniométrica para obtener las razones trigonométricas.
Destacan también por la exactitud
de sus cálculos, por ejemplo, la tabla con los valores del seno de un
ángulo, obtenidas para grados y minutos tienen un error menor a 1.5 ·
10-8.
Siglo XV
La trigonometría llega a
occidente a partir del siglo XII y a través de la cultura árabe.Pero
no es hasta el siglo XV cuando se realiza el primer trabajo importante
sobre este tema.
Fue el matemático alemán Johann
Müller (1436-1476), conocido como Regiomontano, el que escribe las
primeras obras sobre trigonometría, tan importantes que es considerado
como un fundador de esta parte de las matemáticas. Su obra “De Triangulis Omnimodis”,
está comupesta de cinco libros, en el primero da las definiciones
básicas: cantidad, ratio, igualdad, círculos, arcos, cuerdas, y la
función seno. Proporciona algunos axiomas que proporcionarán el
sustento de los 56 teoremas que enunciará. En el segundo de los libros
establece la Ley del seno y la emplea en la resolución de algunos
problemas con triángulos. Determina el área de un triángulo mediante
el conocimiento de dos lados y el ángulo que los sustenta. Los libros
III, IV y V tratan de trigonometría esférica centrando el tema para
las posteriores obras de astronomía. Posteriormente calcula dos
tablas de senos, en la primera emplea una división sexagesimal y en la
segunda calcula los senos de un ángulo empleando una división
decimal.
Leonhard Euler
Sir Isaac Newton
Siglo XVI
Georges Joachim, conocido como Rético
(1514-1576), introdujo el concepto moderno de funciones
trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas
líneas.
En esa misma época, el matemático francés François Viète (1540-1603), introduce la trigonometría esférica.
Siglo XVII
A principios de este siglo se
produce una gran avance de los cálculos trigonométricos gracias al
matemático escocés John Napier (1550-1617), inventor de los logaritmos
que simplificaron notablemente el cálculo y que planteó diversos
métodos para la resolución de triángulos esféricos.
Siglo XVIII
Sir Isaac Newton (1643-1727),
inventó el cálculo diferencial e integral, que permitió representar
muchas funciones matemáticas, entre ellas las trigonométricas mediante
potencias. Con la invención del Cálculo, la trigonometría pasa a formar
parte del Análisis Matemático, donde hoy juega un papel
fundamental.
Leonhard Euler
(1707-1783), matemático suizo, fundó la trigonometría moderna,
introdujo la notación actual de las funciones trigonométricas,
popularizó el uso de la letra griega π, introdujo el uso de la función
exponencial y descubrió su relación con las funciones trigonométricas,
demostrando de una manera muy simple las propiedades básicas de la
trigonometría.
2.
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo
, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo
, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.- El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.
- El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
- La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
- 3. PROBLEMAS RESUELTOS TRIGONOMETRIA:
Ejercicio 11 resuelto
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo.
Ejercicio 8 resuelto
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo.
Ejercicio 9 resuelto
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.
